Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；
（3）当m=0时，求证：f（x）≥x²+x³．

Answer

（1）若函数没有零点，则对应的方程（x2+mx+m）ex=0没有实根，根据指数的性质，我们易将问题转化为二次方程根的个数判断问题，由此列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）求出函数的导函数，由于其表达式中含有参数m，故可对m的取值进行分类讨论，综合讨论过程即可得到答案．
（3）当m=0时，f（x）=x2ex，构造函数ϕ（x）=ex-1-x，求出函数的导函数后，我们易判断出函数的单调区间及最小值，若最小值大于等于0即可得到结论．
【解析】
（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0．
因为函数f（x）没有零点，所以△=m2-4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）
（2）f'（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex=（x+2）（x+m）ex，
令f'（x）=0，得x=-2，或x=-m，
当m＞2时，-m＜-2．列出下表：

x （-∞，-m） -m （-m，-2） -2 （-2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ me-m ↘ （4-m）e-2 ↗

当x=-m时，f（x）取得极大值me-m．（6分）
当m=2时，f'（x）=（x+2）2ex≥0，f（x）在R上为增函数，
所以f（x）无极大值．（7分）
当m＜2时，-m＞-2．列出下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，-m） -m （-m，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ （4-m）e-2 ↘ me-m ↗

当x=-2时，f（x）取得极大值（4-m）e-2，（9分）
所以（10分）
（3）当m=0时，f（x）=x2ex，令ϕ（x）=ex-1-x，则ϕ'（x）=ex-1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，
所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．（13分）
所以φ（x）≥φ（0）=0，ex-1-x≥0，所以ex≥1+x，
因此x2ex≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．（16分）