Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．
（2）由题先求出{bn}的通项公式后再将其裂成两项的差，利用裂项相消的方法求出和Sn，利用递增数列的定义判断出
数列{Sn}是单调递增的，求出其最小值得到t的范围．
【解析】
（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）
整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）
∴an=2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2），
∴=．…（10分）
假设存在整数总成立．
又，
∴数列{Sn}是单调递增的． …（12分）
∴．
又∵t∈N*，
∴适合条件的t的最大值为8．…（14分）