Question

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer

（法1）：由A∩B≠∅，可得方程x2-4ax+2a+6=0有负根，分类讨论，（1）恰有一个负根：（2）恰有2个负根，结合二次方程的性质可求
（法2）：由x2-4ax+2a+6=0有负根可得以（x＜0）有解，构造函数（x＜0），令t=4x-2＜-2，换元得y==，结合基本不等式可求y的范围，进而可求a的范围
【解析】
（法1）：因为A∩B≠∅，所以方程x2-4ax+2a+6=0有负根；…（1分）
设方程的根为x1，x2
（1）恰有一个负根：或…（3分）
解得：或…（5分）
即a≤-3…（6分）
（2）恰有2个负根…（7分）
解得：…（8分）
即-3＜a≤-1…（9分）
所以a的取值范围是{a|a≤-1}…（10分）
（法2）：因为x2-4ax+2a+6=0有负根，所以（x＜0）有解，
设（x＜0），
令t=4x-2＜-2，换元得y==≤-1
所以a≤-1