Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2．
（1）若点E、F分别在棱PB、AD上，且=4，=4，求证：EF⊥平面PBC；
（2）若点G在线段PA上，且三棱锥G-PBC的体积为，试求线段PG的长．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，求出向量EF和向量BC及PB，利用数量积即可证明EF⊥平面PBC；
（2）求出平面的法向量，利用共线向量求出点到平面的距离的表达式，由三棱锥G-PBC的体积为，求线段PG的长．
【解析】
（1）以点D为坐标原点，DA为x轴正方向，
DC为y轴正方向建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
因为，，
所以F，E，
则，，．
，，
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
法二（1），可设，
所以向量的坐标为（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量为．
，
即EF垂直于平面PBC中两条相交直线，所以EF⊥平面PBC．
（2），可设，
所以向量的坐标为（λ，0，-2λ），
平面PBC的法向量为．
点G到平面PCE的距离d===．
△PBC中，BC=1，PB=，PB=，
所以．
三棱锥G-PBC的体积V==，
∴．
此时向量的坐标为，，
即线段PG的长为．