Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C_lD₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为BB₁上一点，N为CC₁上一点
（1）求三棱锥A₁-AMN的体积．
（2）当M是BB₁的中点时，求证D₁M⊥平面MAC．

Answer

（1）由长方体ABCD-A1B1C1D1知：CB⊥平面ABB1A1，故点N到平面ABB1A1的距离等于CB=1，由此能求出三棱锥A1-AMN的体积．
（2）当M是BB1的中点时，连接D1M，D1A，MA，则在△AMD1中，，由此能够证明D1M⊥平面MAC．
【解析】
（1）在长方体ABCD-A1B1ClD1中，AB=AD=1，AA1=2，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知：
CB⊥平面ABB1A1，
∴点N到平面ABB1A1的距离等于CB=1，
∵=1，
∴三棱锥A1-AMN的体积V===．
（2）当M是BB1的中点时，连接D1M，D1A，MA，
则在△AMD1中，D1M==，，MA==，
∴，
∴∠AMD1=90°，∴D1M⊥AM，
又∵AM∩CM=M，
∴D1M⊥平面MAC．