Question

已知A、B、C是直线l上的三点，向量、、满足：-（y+1-lnx）+=，（O不在直线l上，a＞0）
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求a的范围；
（3）求证：lnn＞+++…+对n≥2的正整数n恒成立．

Answer

（1）根据三点共线的充要条件，可得y+1-lnx+=1，整理可得y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，进而求出a的范围；
（3）当a=1时，f（x）=lnx+-1，结合（2）中函数的单调性，可得lnx≥1-，令x=得：ln＞，进而利用对数的运算性质，可证得结论．
【解析】
（1）由已知得：=（y+1-lnx） +，由A、B、C共线得：
y+1-lnx+=1，整理得：y=lnx+
（2）f（x）=lnx+=lnx+-
∴f′（x）=-≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥在x∈[1，+∞）上的最大值，又≤1
∴a≥1
证明：（3）当a=1时，f（x）=lnx+-1
由（2）知当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx+-1≥f（1）=0
∴lnx≥1-（仅x=1时取“=”）
令x=得：ln＞1-，即：ln＞
∴ln+ln+ln+…+ln＞+++…+