Question

设数列{a_n}满足，令．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？
（2）若，求{c_n}前n项的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．

Answer

（1）将条件化为，根据，可得bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1，从而数列{bn}为等差数列；
（2）由（1）可求数列{bn}的通项，从而可得，由此可求数列{an}的通项，由于，利用裂项法可求{cn}前n项的和Sn；
（3）设存在m，n满足条件，则有1•an=am2，从而可化简为4（n2-1）=（m2-1）2，所以m2-1必为偶数，设为2t，从而可有n-t）（n+t）=1，所以有或，即n=1，t=0，进而引出矛盾，问题得解．
【解析】
（1）由已知得=，
∴，
∵
所以bn+12=bn2+2bn+1
∴bn+1=bn+1，
所以数列{bn}为等差数列；
（2）由（1）得：bn+1=bn+1且b1=1，∴bn=n，
即，∴，
∴=，
则=；
（3）设存在m，n满足条件，则有1•an=am2
∴，
即4（n2-1）=（m2-1）2，
所以m2-1必为偶数，设为2t，
则n2-1=t2，∴n2-t2=1
∴（n-t）（n+t）=1，
∴有或，即n=1，t=0，
∴m2-1=2t=0，∴m=1与已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N*，m≠n）使得1，am，an三个数依次成等比数列．