Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

Answer

（1）由SD⊥底面ABCD得SD⊥BC，结合BC⊥DC，可得BC⊥平面SDC，最后由直线与平面垂直的定义，得BC⊥SC．
（2）类似（1）的证明方法，可得DM⊥AB．连接BD，可算出Rt△SDB中，SD==1，可得△SDA的边SD=AD，得到SA边上的中线DM⊥SA，从而得到DM⊥平面SAB，所以DM⊥SB，得异面直线DM与SB所成的角为90°．
【解析】
（1）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD
∴SD⊥BC．
又∵DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC．
∵SC⊂平面SDC，∴BC⊥SC．
（2）∵SD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴SD⊥AB
又∵AB⊥AD，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD
∵DM⊂平面SAD，∴DM⊥AB
连接BD，则Rt△SDB中，BD=，SB=
∴SD==1
可得Rt△SDA中，SD=AD，∴SA边上的中线DM⊥SA
∵SA和AB是平面SAB内的相交直线，
∴DM⊥平面SAB，结合SB⊂平面SAB，得DM⊥SB，
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．