Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF₂F₁=-2，则双曲线的离心率为    ．

Answer

在△PF1F2中，根据正弦定理算出PF1=2PF2．根据tan∠PF1F2=，tan∠PF2F1=-2，结合三角形内角和与两角和的正切公式，得到tan∠F1PF2值，从而算出cos∠F1PF2值，根据余弦定理得到+-2PF1•PF2cos∠F1PF2=3．将两式联解即得PF1、PF2的长，从而得到双曲线的2a值，最后用离心率的公式可求出双曲线的离心率．
【解析】
∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，
∴由正弦定理得，…①
又∵，tan∠PF2F1=-2，
∴tan∠F1PF2=-tan（∠PF2F1+∠PF1F2）=-=，可得cos∠F1PF2=，
△PF1F2中用余弦定理，得+-2PF1•PF2cos∠F1PF2==3，…②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率
故答案为：