Question

直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的离心率，椭圆经过点，建立方程组，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可得到△AOB的面积为定值．
【解析】
（1）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，
∴，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为…（4分）
（2）三角形的面积为定值1
①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=-y2，
由已知=0，得，∴
又A（x1，y1）在椭圆上，所以，∴
∴，∴三角形的面积为定值．…（7分）
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+t，联立方程组，∴（k2+4）x2+2ktx+t2-4=0
△＞0即4k2t2-4（k2+4）（t2-4）＞0，，
∵，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，代入整理得：2t2-k2=4=
所以三角形的面积为定值． …（12分）