Question

已知椭圆，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）根据题意：由离心率和点到直线的距离公式建立方程，利用b2=a2-c2，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1（-1，0），F2（1，0），先验证直线l的斜率不存在的情况，当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，消元表示出x1+x2，y1+y2，用坐标表示出方程，解得k即可求得直线l的方程．
【解析】
（1）因为以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离：=b，解得b=1，又离心率=，
平方可得：，即，解得a2=2，
故所求椭圆的标准方程为：
（2）由（1）可知：F1（-1，0），F2（1，0），
若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=±，
不妨设M（-1，），N（-1，-），∴=（-2，）+（-2，-）=（-4，0）
∴=4，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．
设其方程为：y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）
联立方程，消y并整理得，（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0，
显然有△＞0，由韦达定理可得x1+x2=，x1+x2-2=，
所以y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）=，
又因为，所以，
即，即40k4-23k2-17=0，
解得k2=1，（负值舍去）∴k=±1
∴所求直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0．