Question

已知函数，
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若，不等式f（x）≥kx对于任意的x∈R恒成立，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求导函数，然后讨论a，得到导数符号，从而得到函数的单调区间；
（Ⅱ）分离参数，确定函数的最值，即可求得k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=，
当a=0时，函数定义域为R，f′（x）=≥0，∴f（x）在R上单调递增
当a∈（0，2）时，∵△=a2-4＜0∴x2-ax+1＞0恒成立，函数定义域为R，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，1+a）单调递减，（1+a，+∞）单调递增
当a=2时，函数定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增
当a∈（2，+∞）时，∵△=a2-4＞0，设x2-ax+1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，
由韦达定理易知两根均为正根，且0＜x1＜1＜x2，所以函数的定义域为（-∞，x1）∪（x2，+∞）
又对称轴x=＜a+1，且（a+1）2-a（a+1）+1=a+2＞0，x2＜a+1
∴f（x）在（-∞，x1），（x1，1）单调递增，（1，x2），（x2，a+1）上单调递减，（1+a，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若，的定义域为R，恒成立
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，f（0）=1
∴k＜0，不等式f（x）≥kx在（-∞，0）上不恒成立，∴k≥0
不妨考虑x＞0，则k≤
设g（x）=，则g′（x）=
∴g（x）在（0，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增
∴g（x）min=g（3）=
∴k的取值范围是k∈[0，]．