Question

若直线y=x+t与椭圆相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

Answer

直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，可求|AB|，从而可求|AB|的最大值．
【解析】
以y=x+t代入，并整理得5x2+8tx+4t2-4=0①
因为直线与椭圆相交，则△=64t2-20（4t2-4）＞0，…（3分）
所以t2＜5，即，…（3分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，x1+t），B（x2，x2+t），且x1，x2是方程①的两根．由韦达定理可得：，…（6分）
所以，弦长|AB|2=+=2=2[-4x1•x2]=2[]…（9分）
所以|AB|=，
所以当t=0时，|AB|取最大值为．…（12分）