Question

已知函数f（x）=lnx-x²．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在（0，）为增函数，同理可得函数f（x）在（，+∞）为减函数，进而分类讨论，确定函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的单调性，从而可求函数f（x）最大值．
【解析】
（Ⅰ）因为函数f（x）=lnx-x2，x＞0，所以
令f′（x）＞0，所以0＜x＜
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在（0，）为增函数，
同理可得函数f（x）在（，+∞）为减函数．…（6分）
所以当0＜a＜时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，
所以函数f（x）的最大值为f（a）=lna-a2；       …（9分）
当a≥时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，a）上单调递减，
所以函数f（x）最大值为     …（12分）
综上所述，当0＜a＜时，函数f（x）的最大值为f（a）=lna-a2； 当a≥时，函数f（x）最大值为  …（13分）