Question

如图，在y轴的正半轴上依次有点A₁，A₂，…，A_n，…其中点A₁（0，1），A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…点B₁的坐标为（3，3），且（n=2，3，4，…）
（1）用含n的式子表示|A_nA_n+1|；
（2）用含n的式子表示A_n，B_n的坐标；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

Answer

（1）由题意|An-1An|=3|AnAn+1|是一个等比关系，故有公式求其通项即可；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为An的纵坐标，由（n=2，3，4，…）知{|OBn|}是以为首项，为公差的等差数列，故可求得|OBn|的值，再由
在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐标；
（3）根据四边形AnAn+1Bn+1Bn的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差，确定其单调性，然后求出最大值．
【解析】
（1）∵，∴
（2）由（1）得
∴点An的坐标，∵
∵{|OBn|}是以为首项，为公差的等差数列
∴
∴Bn的坐标为（2n+1，2n+1）
（3）连接AnBn+1，设四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积为Sn，则=，
∴，即Sn+1＜Sn，
∴{Sn}单调递减．∴Sn的最大值为．