Question

若对任意实数x，cos²x+2ksinx-2k-2＜0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．k＞-1

Answer

根据同角三角函数的关系，我们可将不等式转化为2k＞恒成立，求出的最大值，即可得到答案．
【解析】
∵cos2x+2ksinx-2k-2=1-sin2x+2ksinx-2k-2=-sin2x+2ksinx-2k-1=2k（sinx-1）-（sin2x+1）＜0恒成立
即2k（sinx-1）＜（sin2x+1）恒成立
当sinx-1=0时，显然成立
当sinx-1≠0时，则sinx-1＜0
故2k＞恒成立
令t=sinx，y==（-1≤t＜1）
则y′=
令y′=0，则t2-2t-1=0，
解得t=1-，或t=1+（舍去）
由t∈[-1，1-）时，y′＞0，t∈（1-，1）时，y′＜0，
∴y=（-1≤t＜1）在[-1，1-）上递增；在（1-，1）上递减
即ymax=y|t=1=2-2
则2k＞2-2
则k＞1-
故选B