Question

函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围．

Answer

（1）令y=x=0，可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=0，进而根据奇偶性定义可得答案；
（2）任意的x1，x2∈R，x1＜x2，设x2=x1+t，t＞0，结合f（x+y）=f（x）+f（y），及x＞0，f（x）＜0可判断f（x1）-f（x2）的符号，进而根据单调性的定义得到结论
（3）当y=f（ax2-a2x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，则方程f（ax2-a2x）=f[（a+1）（x-1）]有根，根据（2）的结论可得ax2-a2x=（a+1）（x-1）有根．分类讨论后可得答案．
【解析】
（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）为奇函数…（3分）
证明：（2）任意的x1，x2∈R，x1＜x2，设x2=x1+t，t＞0
f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+t）=f（x1）-f（x1）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
故f（x）在R上是减函数…（2分）
【解析】
（3）∵y=f（ax2-a2x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax2-a2x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax2-a2x=（a+1）（x-1）
∴ax2-（a2+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0时，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0时，则∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
综上a∈（-1，+∞）…（1分）