Question

设．
（1）若f（0）=0，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer

（1）把f（0）=0，代入f（x）可以得出b关于a的表达式，再根据均值不等式，求出b的取值范围；
（2）b=0，可以求出f（x）的解析式，对f（x）进行分析，讨论2a2与1的大小，求出f（x）的单调区间，从而求出最小值；
【解析】
（1）∵f（0）=0，
所以得，
由于a＞0，
所以，
于是b的取值范围是
（2）当b=0时，，由于x≥0，所以ex≥1．
①当2a2≥1即时，2a2e2x-1≥0，
故f（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
其最小值为
②当2a2＜1即时，f（x）=0，得，
且当时，f（x）＜0；当时，f（x）＞0
故f（x）在处取得极小值，由于极小值唯一，所以极小值就是最小值．
最小值为
综上，当时，f（x）在[0，+∞）上最小值为；
当时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为