Question

若定义在R上的函数f（x）满足：存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x是函数f（x）的一个不动点．
（I）求函数g（x）=x³-2x的不动点；
（II）若函数h（x）=ax²+bx-b有不动点-3和1，求h（-1）的值．

Answer

（I）根据新定义在R上的函数f（x）满足：存在x∈R，使f（x）=x成立，根据已知函数g（x）=x3-2x，列出方程求出不动点；
（II）函数h（x）=ax2+bx-b有不动点-3和1可得h（x）=x，方程有两个根为-3和1，根据根与系数的关系进行求解；
【解析】
（I）∵定义在R上的函数f（x）满足：存在x∈R，使f（x）=x成立，
∴g（x）=x，即x3-2x=x，∴x3-3x=0，解得x=0或x=±，
∴函数三个不动点是：-，0，；
（II）∵-3和1是函数h（x）的不动点，
∴h（-3）=-3，h（1）=1，
∴，
解得，
于是h（x）=x2+3x-3，h（-1）=-5；