Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由已知中a1=1，an+1=3Sn+1，代入可得a2，a3的值，进而n≥2时，an=3Sn-1+1，与已知式相减可得an+1=4an，即数列{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，可得通项公式；
（II）数列{nan}的通项是一个等差数列和等比数列积的形式，应选用错位相减法，求其前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，an+1=3Sn+1，
a2=4，a3=16．…（2分）
由题意，an+1=3Sn+1，
则当n≥2时，an=3Sn-1+1．
两式相减，化简得an+1=4an（n≥2）．…（4分）
又因为a1=1，a2=4，，
则数列{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以（n∈N*）             …（6分）
（Ⅱ），
，…（8分）
两式相减得，．…（12分）
化简整理得，Tn=（n∈N*）．…（13分）