Question

已知数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n，n∈N^*，
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设，是否存在正整数k，使得c_n≤c_k对n∈N^*恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由数列{an}的前n项和，利用，能求出{an}的通项公式；由数列{bn}的前n项和Tn=2-bn，n∈N*，知Tn-1=2-bn-1，n≥2，两式相减，得bn=bn-1-bn，由此能求出{bn}的通项公式．
（2）由，知cn=16n2•，故cn+1-cn=-16•（n-1-）（n-1+），由此能够推导出存在正整数3，使得cn≤c3对n∈N+恒成立．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和，
∴a1=S1=2+2=4，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n）-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，
当n=1时，4n=4=a1，
∴an=4n．
∵数列{bn}的前n项和Tn=2-bn，n∈N*，
∴Tn-1=2-bn-1，n≥2，
两式相减，得bn=bn-1-bn，
∴，n≥2，
由T1=2-b1，得b1=1，
∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴，n∈N+．
（2）∵，
∴cn=16n2•，
∴cn+1-cn=16（n+1）2•-16n2•
=-16•（n2-2n-1）
=-16•（n-1-）（n-1+），
∴1≤n≤2时，cn+1-cn＞0，cn＜cn+1，
即c1＜c2＜c3，
n≥3时，cn+1-cn＜0，cn＞cn+1，
即c3＞c4＞…，
∴{cn}的最大项为c3，
即存在正整数3，使得cn≤c3对n∈N+恒成立．