Question

如图，A是抛物线x²=4y上异于原点的任意一点，F为抛物线的焦点，l为抛物线在A点处的切线，点B、C在抛物线上，AB⊥l且交y轴于M，点A、F、C三点共线，直线BC交y轴于N．
（1）求证：|AF|=|MF|；
（2）求|MN|的最小值．

Answer

（1）设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），求出直线l的斜率，可得AB的斜率，从而可得直线AB的方程，令x=0，确定M的坐标，从而可得|MF|=y+1，由抛物线的定义可得|AF|=y+1，则可得结论；
（2）先确定BC的斜率，进而可得BC的方程，进一步确定N的坐标，可得|MN|，利用基本不等式，可得|MN|的最小值．
（1）证明：设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），
∵x2=4y，∴y=，∴，∴直线l的斜率k1=
∵AB⊥l，∴kAB=-，∴直线AB的方程为y-y=-（x-x）
令x=0，则y=y+2，∴M（0，y+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y+1
由抛物线的定义可得|AF|=y+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）【解析】
直线AB的方程代入抛物线方程，消去y可得x2+x-2-y=0
∴x1+x=-，∴x1=-x-
设直线AC：y=kx+1代入抛物线方程，消去y可得x2-4kx-4=0，∴xx2=-4，∴x2=-
∴kBC=-，∴直线BC的方程为y-y2=（-）（x-x2）
令x=0得y=（-）（-x2）+y2，代入x2=-，y2=，化简得y=-1-
∴N（0，-1-），∴|MN|=y+2+1+=+3≥3+2当且仅当x4=32时等号成立，
∴|MN|的最小值为3+2．