Question

设数列满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2^2n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由题意得an+1=[（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）]+a1=3（22n-1+22n-3+…+2）+2=22（n+1）-1．由此可知数列{an}的通项公式为an=22n-1．
（Ⅱ）由bn=nan=n•22n-1知Sn=1•2+2•23+3•25++n•22n-1，由此入手可知答案．
【解析】
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an+1=[（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）]+a1
=3（22n-1+22n-3+…+2）+2=22（n+1）-1．
而a1=2，
所以数列{an}的通项公式为an=22n-1．
（Ⅱ）由bn=nan=n•22n-1知Sn=1•2+2•23+3•25+…+n•22n-1①
从而22Sn=1•23+2•25+…+n•22n+1②
①-②得（1-22）•Sn=2+23+25+…+22n-1-n•22n+1．
即．