Question

F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，△ABF₂面积的最小值为    ．

Answer

确定双曲线的焦点坐标，设出AB的方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出△ABF2面积，再利用导数知识，即可求得△ABF2面积的最小值
【解析】
由题意F1（-3，0），F2（3，0）
设AB的方程为x=my-3，A（x1，y1），B（x2，y2），则
AB的方程代入双曲线方程，整理可得（5m2-4）y2-30my+25=0
∴y1+y2=，y1y2=
∴|y1-y2|==
∵直线l过F1与双曲线的左支交于A、B两点，∴y1y2＜0，∴5m2-4＜0
∴|y1-y2|=
∴△ABF2面积为×|F1F2|×|y1-y2|=
令，则，∴==
令y=-5t+，则，∴y=-5t+在[1，）上单调递减，∴0＜y≤4
∴≥15，即△ABF2面积的最小值为15
故答案为：15．