Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x-1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）-m]•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据二次函数f（x）=ax2+bx，f（x-1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合，可得f（x）的对称轴为x=-1，f（x）=x有两个相等的实数根，由此可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=（x2+x-m）•ex，分类讨论：若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，则g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立；函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立，再分离参数即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2+bx，f（x-1）为偶函数，
∴f（x）的对称轴为x=-1，∴
∵集合A={x|f（x）=x}为单元素集合
∴f（x）=x有两个相等的实数根
∴ax2+（b-1）x=0，∴b=1
∴
∴
∴f（x）的解析式为f（x）=x2+x；
（Ⅱ）g（x）=（x2+x-m）•ex，
若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，则g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立
即（x2+2x+1-m）•ex≥0对x∈[-3，2]上恒成立
∴m≤（x2+2x+1）min（x∈[-3，2]）
∴m≤-1
若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立
即（x2+2x+1-m）•ex≤0对x∈[-3，2]上恒成立
∴m≥（x2+2x+1）max（x∈[-3，2]）
∴m≥7
∴实数m的取值范围为（-∞，-1]∪[7，+∞）．