Question

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，点E为线段PB的中点，点M在AB弧上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer

（1）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（2）利用线线垂直证明线面垂直；
（3）由（2）知BC⊥面PAC，可得∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得结论．
（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA      …（1分）
因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．…（2分）
因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．…（3分）
因为OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC …（5分）
（2）证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．…（7分）
因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC；…（9分）
（3）【解析】
由（2）知BC⊥面PAC，∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．…（10分）
在Rt△PAC中，，
在Rt△ABC中，，
在Rt△PBC中，…（12分）
∴．
∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为…（14分）