Question

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer

（1）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，由几何概型公式可得，得5分与3分的概率，由相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；
（2）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，分析可得获奖的得分包括（5，5），（5，3），（3，5）三种情况，由互斥事件的概率加法公式，计算可得答案；
（3）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，分析可得X可取的值为0、1、2、3、4、5，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得X取0、1、2、3、4、5时的概率，列表可得X的分步列，由期望的计算公式可得X的期望．
【解析】
（Ⅰ）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，
由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为；
P（A）=×=．
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为．
（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．
所以P（B）=×+×+×=，
所以某个家庭获奖的概率为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，而X可取的值为0、1、2、3、4、5，
P（X=0）=C5（）（1-）5=，
P（X=1）=C51（）1（1-）4=，
P（X=2）=C52（）2（1-）3=，
P（X=3）=C53（）3（1-）2=，
P（X=4）=C54（）4（1-）1=，
P（X=5）=C55（）5（1-）=，
所以X分布列为：

X 1 2 3 4 5
P

所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=，
所以X的数学期望为．