Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）解不等式（n∈N^*）．

Answer

（1）由题设条件，分别令n=1和n=2，能够得到a2，a3的值，再由2an+1=Sn+2和2an=Sn-1+2两式相减，得到2an+1-2an=Sn-Sn-1．由此能够导出{an}为等比数列，从而得到数列{an}的通项公式．
（2），由n=1，2，3，4，5得到它的前5项为：3，2，，，．{an}的前5项为：1，，，，，然后分别进行讨论，能够求出不等式（n∈N*）的解集．
【解析】
（1）∵2a2=S1+2=a1+2=3，∴．（1分）
∵，∴．（2分）
∵2an+1=Sn+2，∴2an=Sn-1+2（n≥2），
两式相减，得2an+1-2an=Sn-Sn-1．∴2an+1-2an=an．则（n≥2）（4分）
∵，∴（n∈N*）（5分）
∵a1=1≠0，∴{an}为等比数列，．（6分）
（2），
∴数列是首项为3，公比为等比数列．（7分）
数列的前5项为：3，2，，，．{an}的前5项为：1，，，，．
∴n=1，2，3时，成立；（10分）
而n=4时，；（11分）
∵n≥5时，＜1，an＞1，∴．（13分）
∴不等式（n∈N*）的解集为{1，2，3}．（14分）