Question

在△ABC中，已知．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC=，求A的值．

Answer

（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；
（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解析】
（1）∵•=3•，
∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，
由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；
（2）∵cosC=，0＜C＜π，
sinC==，
∴tanC=2，
则tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，
∴=-2，
将tanB=3tanA代入得：=-2，
整理得：3tan2A-2tanA-1=0，即（tanA-1）（3tanA+1）=0，
解得：tanA=1或tanA=-，
又coaA＞0，∴tanA=1，
又A为三角形的内角，
则A=．