Question

已知数列{a_n}中各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=（a+a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）对n∈N^*，试比较++…+与a₂的大小．

Answer

由，{an}中各项均为正数解得a1=1，当n≥2时，Sn-Sn-1=an=，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）对n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和，，=2（），由此利用裂项求和法能够推导出++…+＜a2．
【解析】
（1）∵，
∴当n=1时，S1=a1=（），
又{an}中各项均为正数解得a1=1，…（2分）
当n≥2时，Sn-Sn-1=an=，…（4分）
∴2an=（an2+an）-（），
即，
即，
∴（an-an-1）（an+an-1）-（an-1+an）=0，
∴（an-an-1-1）（an+an-1）=0，
∵{an}中各项均为正数，∴an-an-1-1=0，
即an-an-1=1（n≥2），∴，（n≥2），…（6分）
又n=1时，a1=1，∴数列{an}的通项公式是an=n，（n∈N*）．…（8分）
（2）对n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和，
∴，=2（），…（10分）
∴=2（1-+-+…+-）=2（1-），…（12分）
∵a2=2，∴++…+=2（1-）＜2=a2，
∴++…+＜a2．