Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，
（1）求实数a、b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，求函数ϕ（x）=ax²+btx+1的最大值g（t）．

Answer

（1）把函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，代入可以求得a与b的关系式，再根据对任意实数x均有f（x）≥0成立，可以求出a与b的关系式；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，已知a，b的值，可以代入求得函数ϕ（x）=ax2+btx+1，配方法求出函数ϕ（x）的最值；
【解析】
（1）函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，可得a-b+1=0，可得b=a+1
∵对任意实数x均有f（x）≥0成立，
∴ax2+bx+1=ax2+（a+1）x+1≥0，恒成立，
∴解得（a+1）2-4a=（a-1）2=0，
∴a=1，b=2；
故答案为：a=1，b=2…（6分）
（2）当x∈[-2，2]时，求函数ϕ（x）=ax2+btx+1=x2+2tx+1=（x+t）2+1-t2，
函数的对称轴为x=-t，
当t≤0时，-t≥0，f（x）在（-2，-t）上为减函数，
f（x）在x=-2处取得最大值，g（x）max=g（-2）=5-4t；
当t＞0时，在x=2处取得最大值，g（x）max=g（2）=5+4t；
函数ϕ（x）=ax2+btx+1的最大值g（t）．
∴…（12分）