Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N₊），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+），点（an，Sn）在直线y=2x-3n，可得Sn=2an-3n，再写一式，两式相减，整理可得数列{an+3}是公比为2的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）设存在s，p，r∈N+且s＜p＜r，使as，ap，ar成等差数列，可得出2p-s+1=2r-s+1，利用2p-s+1、2r-s为偶数，而1+2r-s为奇数，即可得出结论．
【解析】
（1）由题意，∵数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+），点（an，Sn）在直线y=2x-3n．
∴Sn=2an-3n①，Sn+1=2an+1-3（n+1）②
②-①化简可得an+1=2an+3，…（3分）
∴an+1+3=2（an+3）
∴数列{an+3}是公比为2的等比数列
∵a1=S1=2a1-3，∴a1=3
∴a1+3=3+3=6
∴
∴  …（6分）
（2）设存在s，p，r∈N+且s＜p＜r，使as，ap，ar成等差数列，…（7分）
∴2ap=as+ar，即 2（3×2p-3）=（3×2s-3）+（3×2r-3）
∴2p+1=2s+2r
∴2p-s+1=2r-s+1 （*）      …（10分）
∵s、p、r∈N+且s＜p＜r
∴2p-s+1、2r-s为偶数
∵1+2r-s为奇数，（*）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．…（13分）