Question

在直角坐标系xOy中，已知圆M的方程为x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α为参数），直线l的参数方程为为参数）
（I）求圆M的圆心的轨迹C的参数方程，并说明它表示什么曲线；
（II）求直线l被轨迹C截得的最大弦长．

Answer

（Ⅰ）通过配方即可得到圆心的参数方程，再消去参数即可得到其普通方程．
（Ⅱ）由于直线上的一点P（0，1）也是圆M的圆心的轨迹椭圆的短轴的上顶点，据参数方程再设此椭圆上的任意一点的坐标（2cosα，sinα），
根据两点间的距离公式即可得到弦长|PQ|是关于sinα的二次函数，利用其单调性即可求出最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α为参数），
配方得（x-2cosα）2+（y-sinα）2=1，
∴圆M的圆心（x，y）的轨迹C的参数方程为（α为参数），
变为，y=sinα，
将上两式分别平方相加得，
∴圆心（x，y）的轨迹C为：焦点在x轴上，长半轴长是2，短半轴长是1的椭圆．
（Ⅱ）直线l的参数方程为为参数），
令t=0，则x=0，y=1，∴（0，1）在直线l上，并且是圆M的圆心的轨迹椭圆的短轴的上顶点，
设点P（2cosα，sinα）是直线l与椭圆相交的另一个交点，
则弦长|PQ|的平方|PQ|2=（2cosα-0）2+（sinα-1）2=-3sin2α-2sinα+5
=，
∵-1≤sinα≤1，∴当时，上式的最大值为．
即弦长|PQ|的最大值为．