Question

已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（，0），
一条渐近线的方程为，点P为双曲线上不同于A、B的任意一点，过P作x轴的垂线交双曲线于另一点Q．
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过点N（l，0）作直线l与（Ⅱ）中轨迹E交于不同两点R、S，已知点T（2，0），设的取值范围．

Answer

（I）利用双曲线的右焦点为F（，0），一条渐近线的方程为，结合c2=a2+b2，可求双曲线C的方程；（Ⅱ）由A，M，P三点共线、B，M，Q三点共线，确定坐标之间的关系，利用双曲线方程，可得直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）①若直线l的斜率为0，不满足；
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入，利用韦达定理，及，=[t（y1+y2）-2]2+（y1+y2）2=16-+，即可求得结论．
【解析】
（I）∵双曲线的右焦点为F（，0），一条渐近线的方程为，
∴c=，
∵c2=a2+b2，∴a=，b=1
∴双曲线C的方程为；
（Ⅱ）设P（x，y），Q（x，-y），M（x，y），A（-，B（
由A，M，P三点共线得：（x+）y=y（x+）
由B，M，Q三点共线得：（x-）y=-y（x-）
∴
∵
∴
∴直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程为；
（Ⅲ）①若直线l的斜率为0，则R（-，0），S（，0），N（1，0），
∴，
∴
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入，可得（t2+2）y2+2ty-1=0
设R（x1，y1），S（x2，y2）（y1≠0，y2≠0），则y1+y2=-，y1y2=-
∵，∴y1=λy2，∴λ=，λ＜0
∴+2=+2==-
∵λ∈[-2，-1]
∴
∴-≤-≤0
∴0≤t2≤
∴=[t（y1+y2）-2]2+（y1+y2）2=16-+
令n=，则n∈[]
∴=8n2-28n+16=8（n-）2-
∴n=时，min=4；n=时，=
∴∈[2，]．