Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值点和极值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．
（3）当a=时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x），x∈[1，2]都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

Answer

（1）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性和极值；
（2）根据（1）的条件，函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞），因为与1，2大小不知道，所以对其进行讨论，分情况求出函数f（x）在[1，2]上的最小值；
（3）把a=代入函数f（x）求出去单调区间，再求出去最值，假设存在，我们可以取f（x）的最小值和最大值组成一个区间，并对其进行验证；
【解析】
（1）∵f′（x）=-a=，
∴当a≤0时，f′（x）=，即函数f（x）的增区间为（0，+∞），此时f（x）无极值点；
当a＞0时，令f′（x）==0得，x=＞0．列表如下：

x （0，） （，+∞），
f′（x） + -
f（x） 单调增 极大值 单调减

由上表知：函数f（x）的极值点为x=，且在该极值点处有极大值为f（）=-lna-1．…（4分）
（2）由（1）知：当a＞0时，函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．
①若≤1即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以（f（x））min=f（2）=ln2-2a，；
②若≥2，即0＜a≤时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以（f（x））min=f（1）=-a，；
③若1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，）上为增函数，在区间（，2）为减函数，
又f（2）-f（1）=ln2-a，所以，当＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
当ln2≤a＜1时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
综上可知：当0＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
当a≥ln2时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
（3）当a=时，由（2）知函数f（x）在区间（1，）上为增函数，在区间（，2）为减函数，
所以（f（x））min=f（）=ln-1，又f（2）-f（1）=ln2-＜0，所以，
（f（x））min=f（2）=ln2-．
故函数y=f（x），x∈[1，2]的值域为[ln2-，ln-1]．
据此可得，若，相对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x），x∈[1，2]都有公共点；
并且对每一个t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=f（x），x∈[1，2]都没有公共点．
综上，当a=时，存在最小的实数m=ln2-，最大的实数M=ln-1，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x），x∈[1，2]都有公共点．              …（14分）