Question

已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；
（2）设F（x）=若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer

（1）已知对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，可以转化为（x-lnx）a≤x2-2x，再利用系数分离法
（2）假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，则，然后对t进行讨论：t＜-1，-1＜t＜1，t＞1，三种情况进行讨论，转化为函数的恒成立，利用常数分离法进行求解；
【解析】
（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，．
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤恒成立，a≤（）min． …（4分）
设t（x）=，x∈[1，e]，
求导，得t′（x）=．…（6分）
x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．…（8分）
（2）F（x）=，
设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点．
假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，
则，
若t≤-1，P（t，-t3+t2），Q（-t，aln（-t）），
=-t2+aln（-t）（-t3+t2），
由于恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．
当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1．恒成立．
当t＜-1时，a＜恒成立．由于，所以a≤0．（12分）
若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t3+t2），Q（-t，t3+t2），
则=-t2+（-t3+t2）（t3+t2）＜0，
t4-t2+1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立．…（14分）
③当t≥1时，同①可得a≤0．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]．  …（16分）