Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=-x²+ax．
（1）函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设ϕ（x）=e^2x+ae^x，x∈[0，ln2]，求函数ϕ（x）的最小值．

Answer

（1）h（x）在（0，+∞）上是增函数，转化为对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，利用基本不等式，即可确定b的取值范围；
（2）设t=ex，则函数化为y=t2+at，t∈[1，2]，利用配方法，讨论函数在[1，2]上的单调性，即可求得函数ϕ（x）的最小值．
【解析】
（1）依题意：h（x）=lnx+x2-ax
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴对x∈（0，+∞）恒成立，
∴，
∵x＞0，则 ．
∴b的取值范围是．
（2）设t=ex，则函数化为y=t2+at，t∈[1，2]
∵
当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，
∴当t=1时，ymin=a+1；
当，即-4＜a＜-2时，t=-，ymin=；
当，即a≤-4时，函数y在[1，2]上为减函数，
∴当t=2时，ymin=2a+4．
综上所述：