Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）是否存在正整数k，使成立．

Answer

（1）根据an+Sn=4，an+1+Sn+1=4，两式相减，即可得数列{an}的通项公式；
（2）先利用等比数列的求和公式，再利用成立，得出结论，从而可确定是否存在正整数k，使成立．
（1）证明：由题意，an+Sn=4，an+1+Sn+1=4，两式相减得 
当n=1时，a1+S1=2a1=4，得a1=2．
∴数列{an}是以首项a1=2，公比为的等比数列．
（2）【解析】
由（1）知
∴等价于
∴
∴
∴
∵k是正整数，
∴2k-1正整数，这与相矛盾，
故不存在这样的k，使不等式成立．