Question

抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
（1）用m，x表示f（x）=0．
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）．
（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=（x）均相切，求y=f（x）

Answer

（1）先设抛物线方程y2=kx（x-m），把点P代入抛物线方程求得k，进而可得抛物线方程可得．
（2）f（x）=（x-n）g（x）求得函数f（x）的表达式，求导，根据函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，可知f′（a）=0，f′（b）=0，根据m＞n可知f′（m）＞0，f′（n）＜0，进而可判断b＜n＜a＜m．
（3）设切点Q（x，y）进而可根据函数f（x）的导函数求得斜率，根据y=x3-（m+n）x2+mnx，可得切线的方程，又根据切线过原点，进而可得-x3-（m+n）x2-mnx=-3x3-2（m+n）x2+mnx，求得x，分别表示出两切线的斜率m+n≤2，确定k1k2的范围，进而根据两条切线垂直可知k1k2=-1，推断出上式等号成立，有m+n=2，且mn=1．进而求得函数f（x）的表达式．
【解析】
（1）由抛物线经过点O（0，0）A（m，0），设抛物线方程y=kx（x-m），k≠0，
又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）=x2-mx．
（2）f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x3-（m+n）x2+mnx，
f′（x）=3x2-2（m+n）x+mn，函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m2-2（m+n）m+mn=m2-mn=m（m-n）＞0
f′（n）=3n2-2（m+n）+mn=n2-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．
（3）设切点Q（x，y），则切线的斜率k=f′（x）=3x2-2（m+n）x+mn
又y=x3-（m+n）x2+mnx，，所以切线的方程是
y=x3-（m+n）x2-mnx=[3x2-2（m+n）x+mn]（x-x）
又切线过原点，故-x3-（m+n）x2-mnx=-3x3-2（m+n）x2+mnx，
所以2x3-（m+n）x2=0，解得x=0，或x=．
两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，k2=f′（），
由m+n≤2，得（m+n）2≥8，∴-（m+n）2≥-2，
∴k2=f′（）=-2（m+n）•+mn=-（m+n）2+mn≥mn-2
所以k1k2=（mn）2-2mn=（mn-1）2-1≥-1，
又两条切线垂直，故k1k2=-1，所以上式等号成立，有m+n=2，且mn=1．
所以f（x）=x3-（m+n）x2+mnx=x3-2x2+x．