Question

已知当椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，椭圆的面积是πab．请针对椭圆，求解下列问题：
（1）若m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
（2）若m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4．求点P（m，n）落在椭圆外的概率以及点P落在椭圆上的概率．

Answer

（1）当m，n是实数，属于几何概型，求出|m|≤5，|n|≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积，椭圆围成的区域的面积，就可求得点P（m，n）落在椭圆内的概率；
（2）当m，n是整数，属于古典概型，求出|m|≤5，|n|≤4时，点P（m，n）的个数，落在椭圆上点的个数，即可求得点P（m，n）落在椭圆上的概率；当m＞0，n＞0时，共有4×9=36个点在椭圆外，故可求点P（m，n）落在椭圆外的概率．
【解析】
（1）当m，n是实数，且|m|≤5，|n|≤4时，所有形如（m，n）的点覆盖的图形的面积是80．
椭圆围成的区域在其内部，且面积为20π． 
故点P（m，n）落在椭圆内的概率为=
（2）当m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4时，点P（m，n）共有11×9=99个，其中点（0，4），（0，-4），（5，0），（-5，0）四点落在椭圆上．
故点P（m，n）落在椭圆上的概率为
当m＞0，n＞0时，点（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9点在椭圆外．
由对称性知，当m，n是整数，且|m|≤5，|n|≤4时，共有4×9=36个点在椭圆外．
故点P（m，n）落在椭圆外的概率是=．