Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：数列{a_n+2}是等比数列（要求指出首项与公比）；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由an+1=2an+2，可求得得an+1+2=2an+4，从而有=2，n∈N*，而a1+2=4，从而可证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得an=2n+1-2，利用分组求和法即可求得数列{an}的前n项和Sn．
证明：（I）由an+1=2an+2，得an+1+2=2an+4，
即an+1+2=2（an+2），
∴=2，n∈N*，（4分）
又由a1=2得a1+2=4，
所以数列{an+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．（6分）
（II）由（I）知an+2=4•2n-1=2n+1，
所以an=2n+1-2，
所以（10分）
=2n+2-2n-4．（12分）