Question

已知函数．
（I）若f（x）在处取和极值，
①求a、b的值；
②存在，使得不等式f（x）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer

（Ⅰ）①确定函数的定义域，求出导函数，利用f（x）在处取得极值，可得，从而可建立方程组，即可求出a，b值；
②在存在x，使得不等式f（x）-c≤0成立，则只需c≥[f（x）]min，利用导数确定函数的最小值，即可求解；
（Ⅱ）当 a=b 时，，分类讨论：①当a=0时，f（x）=lnx；②当a＞0时，f'（x）＞0；③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，从而可得结论
【解析】
（Ⅰ）①∵，定义域为（0，+∞）
∴
∵f（x）在处取得极值，
∴
即，所以所求a，b值均为
②在存在x，使得不等式f（x）-c≤0成立，则只需c≥[f（x）]min
由
∴当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）在处有极小值
而
又，
因，
∴，
∴，
故 ．
（Ⅱ）当 a=b 时，
①当a=0时，f（x）=lnx，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，从而得，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；
综上可得，