Question

如图所示，已知直线l：3x+4y-12=0与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，直线l₁和线段AB，OA分别交于C，D且平分△AOB的面积．
（1）求△AOB的面积；
（2）求CD的最小值．

Answer

（1）令直线l：3x+4y-12=0中y=0，求出x的值，即为A的横坐标，确定出A的坐标，令直线l解析式中x=0，求出y的值，即为B的纵坐标，确定出B的坐标，进而求出OA及OB的长，由三角形AOB为直角三角形，利用两直角边OA与OB乘积的一半即可求出三角形AOB的面积；
（2）设AD=m，AC=n，在直角三角形AOB中，由AO及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角形函数定义求出sinA及cosA的值，由AD，AC及sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ACD的面积，根据直线CD平分三角形AOB的面积，由第一问求出的三角形AOB的面积求出三角形AOD的面积，整理后求出mn的值，在利用余弦定理表示出CD2=m2+n2-2mncosA，将mn及cosA的值代入，并利用基本不等式变形，再将mn的值代入，即可求出CD的最小值，以及此时m与n的值．
【解析】
（1）令y=0，求出x=4，∴A（4，0），
令x=0，求出y=3，∴B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
则S△AOB=OA•OB=×4×3=6；
（2）设AD=m，AC=n，
在Rt△AOB中，OA=4，0B=3，
根据勾股定理得：AB==5，
∴sinA==，又直线CD平分△AOB的面积，
∴S△ACD=mnsinA=×6=3，∴mn=10，
在△AOB中，cosA==，
由余弦定理得：CD2=m2+n2-2mncosA=m2+n2-2×10×=m2+n2-16≥2mn-16=4，
∴CD≥2，当且仅当m=n=时取等号，
则CD的最小值为2．