Question

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i-c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令c_n=1-（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer

（1）根据f（x）≤0的解集有且只有一个元素，可得△等于0，从而可求a的值，即可求出函数解析式，从而可求数列{an}的通项公式；
（2））根据cn=1-，可得，验证n≥3时，数列{cn}递增，确定n≥3时，有且只有1个变号数；判断n≤2时变号数有2个，最后综合答案可得．
【解析】
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a2-4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4，∴Sn=n2-4n+4
n≥2 时，an=Sn-Sn-1=2n-5，n=1 时，a1=1
∴an=
（2）∵cn=1-，
∴
∵n≥3时，Cn+1-Cn=＞0，
∴n≥3时，数列{cn}递增，
∵a4=-＜0，由＞0
n≥5，可知a4-a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C1=-3，C2=-5，C3=-3，即C1-C2＜0，C2-C3＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．