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直线l过点P(2,1),且分别与x,y轴的正半轴于A,B两点,O为原点. (1)...

直线l过点P(2,1),且分别与x,y轴的正半轴于A,B两点,O为原点.
(1)求△AOB面积最小值时l的方程;
(2)|PA|•|PB|取最小值时l的方程.
(1)设AB方程为,点P(2,1)代入后应用基本不等式求出ab的最小值,即得三角形OAB面积面积的最小值. (2)设直线l的点斜式方程,求出A,B两点的坐标,代入|PA|•|PB|的解析式,使用基本不等式,求出最小值,注意检验等号成立条件. 【解析】 (1)设A(a,0)、B(0,b ),a>0,b>0, AB方程为,点P(2,1)代入得 ≥2,∴ab≥8 (当且仅当a=4,b=2时,等号成立), 故三角形OAB面积S=ab≥4, 此时直线方程为:, 即x+2y-4=0. (2)设直线l:y-1=k(x-2),分别令y=0,x=0, 得A(2-,0),B(0,1-2k). 则|PA|•|PB|==≥4, 当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|•|PB|取最小值, 又∵k<0, ∴k=-1, 这时l的方程为x+y-3=0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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