Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为 （a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点M（1，）对应的参数φ=，曲线C₂过点D（1，）．
（I）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（II）若点A（ ρ ₁，θ ），B（ ρ ₂，θ+） 在曲线C₁上，求的值．

Answer

（I）将及对应的参数，代入曲线C1的参数方程，求出a、b的值，可得曲线C1的方程．把点D的
极坐标化为直角坐标代入圆C2的方程为（x-R）2+y2=R2 ，求得R=1，即可得到曲线C2的方程．
（II）把A、B两点的极坐标化为直角坐标，代入曲线C1的方程可得，，从而求得的值．
【解析】
（I）将及对应的参数，代入，得，即，
所以曲线C1的方程为．
设圆C2的半径为R，由题意圆C2的方程为（x-R）2+y2=R2 ．
由D的极坐标 ，得，代入（x-R）2+y2=R2，解得R=1，
所以曲线C2的方程为（x-1）2+y2 =1．
（II）因为点A（ρ1，θ），在曲线C1上，又点A的直角坐标为（ρ1cosθ，ρ1sinθ），
点B的横坐标为ρ2 cos（θ+）=-ρ2sinθ，点B的纵坐标为ρ2sin（θ+）=ρ2cosθ，
所以，，
所以．（10分）