Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，
（1）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）求证：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer

（1）连接BD、BC1，正方体ABCD-A1B1C1D1中利用对角面BB1D1D是平行四边形得到B1D1∥BD，再利用三角形BCD的中位线得到EF∥BD，从而得到EF∥B1D1．结合
直线与平面平行的判定定理，得到EF∥平面AB1D1，同理可得EG∥平面AB1D1．最后用平面与平面平行的判定定理，可以证出平面AB1D1∥平面EFG；
（2）利用正方体的侧棱垂直于底面，得到AA1⊥平面ABCD，从而AA1⊥EF，再利用正方形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直且EF∥BD，得到AC⊥EF，结合直线与平面垂直的判定定理，得到EF⊥平面AA1C，最后用平面与平面垂直的判定定理，可得平面AA1C⊥面EFG．
【解析】
（1）连接BD、BC1
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD
又∵△BCD中，E、F分别是CB、CD的中点
∴EF∥BD⇒EF∥B1D1
又∵EF⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1
∴EF∥平面AB1D1，同理可得EG∥平面AB1D1
∵EF∩EG=E，EF、EG⊂平面EFG
∴平面AB1D1∥平面EFG
（2）∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，
∴AA1⊥EF
∵正方形ABCD中，AC⊥BD且EF∥BD
∴AC⊥EF
∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面AA1C
∴EF⊥平面AA1C
∵EF⊂面EFG
∴平面AA1C⊥面EFG．