Question

（1）证明两角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
（2）已知△ABC的面积S=，，且，求cosC．

Answer

（1）如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．可得P1，P2，P3，P4的坐标，利用P1P3=P2P4及两点间的距离公式，即可证得结论．
（2）由S=bcsinA=＞0，•=bccosA=3可求得sinA=，cosA=，又cosB=，可求得sinB=，利用两角和的余弦即可求得cosC．
【解析】
（1）如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．
则P1（1，0），P2（cosα，sinα），
P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））   …（4分）
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2…（6分）
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．…（8分）
（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA=＞0，•=bccosA=3＞0
∴A∈（0，），cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1，
∴sinA=，cosA=…（10分）
由题意，cosB=，sinB=…（11分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=，
故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-…（14分）