Question

已知圆M：x²+（y-4）²=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．
（Ⅰ）当P的横坐标为时，求∠APB的大小；
（Ⅱ）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所以定点的坐标．
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer

（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；
（Ⅱ）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点；
（Ⅲ）将圆N与圆M方程相减，可得圆M方程与圆N相交弦所在直线m方程，求出点M到直线m的距离，即可得到相交弦长，利用配方法，可求AB的最小值．
（Ⅰ）【解析】
由题可知，圆M的半径r=2，，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°
又因MP==2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°； …（4分）
（Ⅱ）证明：设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：，即（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0
由，…（7分）
解得或，所以圆过定点 …（9分）
（Ⅲ）【解析】
因圆N方程为即x2+y2-2bx-（b+4）y+4b=0  …①
圆M：x2+（y-4）2=4即x2+y2-8y+12=0 …②
②-①得圆M方程与圆N相交弦所在直线m方程为2bx+（b-4）y+12-4b=0…（11分）
点M到直线m的距离 …（13分）
相交弦长即 …（15分）
当时，AB有最小值 …（17分）