Question

设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+1=0．
（Ⅰ）证明：直线l₁与l₂相交；
（Ⅱ）证明：直线l₁与l₂的交点在圆x²+y²=1上．

Answer

（Ⅰ）假设l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+1=0，得，这与k1为实数的事实相矛盾，故l1与l2相交．
（Ⅱ）直线l1与l2的交点P（x，y）满足，x≠0，从而，代入k1k2+1=0，得，由此能够证明直线l1与l2的交点在圆x2+y2=1上．
【解析】
（Ⅰ）反证法：假设l1与l2不相交，
则l1与l2平行，有k1=k2，
代入k1k2+1=0，得，
这与k1为实数的事实相矛盾，
∴k1≠k2，
故l1与l2相交．
（Ⅱ）直线l1与l2的交点P（x，y）满足，
∴x≠0，从而，
代入k1k2+1=0，得，
整理，得x2+y2=1，
∴直线l1与l2的交点在圆x2+y2=1上．